正多面体が5種類しかないことの証明

はじめに

 最近見た教育系Youtuberが扱っていた「正多面体が5種類しかないことの証明」が面白かったので紹介したい。

正多面体

 正多面体は5種類しかないことが知られている(下図参照:ここから引用した)。

各正多面体の属性一覧は以下の通り。

余談であるが、弊社の3D類似検索では正12面体の20個の頂点を利用している。

オイラーの多面体定理

 正多面体が5種類しかないことを証明する方法はいくつかあるが、ここではオイラーの多面体定理を出発点とする。この定理の証明は今回は行わない。

穴の開いていない多面体については、頂点の数V、面の数F、辺の数Eについて次式が成り立つ。

     \begin{align*} V+F-E=2 \end{align*}

例えば正4面体の場合、V=4F=4E=6なのでV+F-E=4+4-6=2となり、上式が成り立つことが分かる。他の正多面体ついても同様である。

正多面体が5種類しかないことの証明

 1つの頂点に集まる辺の数をM、1つの面の辺の数をNとする。このとき次が成り立つ。

(1)    \begin{align*} NF&=2E \\ MV&=2E \end{align*}

例えば正四面体の場合、M=3N=3である。正四面体の面の数はF=4、辺の数はE=6であるから、NF=12=2Eが成り立つ。さらに、頂点の数はV=4であるからMV=12=2Eも成り立つ。
 式(1)の1番目の式より

     \begin{align*} E=\dfrac{NF}{2} \end{align*}

式(1)の2番目の式より

     \begin{align*} V=\dfrac{2E}{M}=\dfrac{NF}{M} \end{align*}

上の2つの式をオイラーの多面体定理に代入する。

     \begin{align*} V+F-E=\dfrac{NF}{M}+F-\dfrac{NF}{2}=2 \end{align*}

これより

(2)    \begin{align*} F(\dfrac{N}{M}+1-\dfrac{N}{2})=2 \end{align*}

を得る。この式が、正多面体であるとき成り立たなければならない条件(必要条件)である。これを満たす整数の組(F,N,M)が正多面体の候補となる。

整数問題

 正多面が満たすべき条件(必要条件)は式(2)に帰着した。ここではこの式を満たす3つの整数の組を求める。ただし、Fは面の数、Mは1つの頂点に集まる辺の数、Nは1つの面の辺の数であるからいずれの数も3以上である。
 式(2)の両辺に2Mをかける。

(3)    \begin{align*} F(2N+2M-MN)=4M \end{align*}

これを変形すると

     \begin{align*} F(4-(N-2)(M-2))=4M \end{align*}

右辺は正の数なので

     \begin{align*} 4-(N-2)(M-2)>0 \end{align*}

でなければならない。従って

     \begin{align*} (N-2)(M-2)<4 \end{align*}

が成り立つ。この式を満たす整数(M,N)の組は容易に見つけることができる。

     \begin{align*} (M,N)=(3,3),(4,3),(5,3),(3,4),(3,5) \end{align*}

(M,N)に対し、式(3)からFを求めると

     \begin{align*} (F,M,N)=(4,3,3),(8,4,3),(20,5,3),(6,3,4),(12,3,5) \end{align*}

となる。最初に示した正多面体の属性一覧をもう一度示す。

整数問題として解いた5つの解は、上の赤字(実際に存在している正多面体)と一致していることが分かる(十分条件)。以上より正多面体は5種類しか存在しないことが示された。

まとめ

 リンクを貼った動画では、最初に式(2)が大学入試問題として紹介されており、解法を示したあと同じ式が正多面体が5種類しかないことの証明に使われることに言及している。たかが入試問題されど入試問題である。

参考動画

ヨビノリさん

Kumada Seiya

Kumada Seiya

仕事であろうとなかろうと勉強し続ける、その結果”中身”を知ったエンジニアになれる

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